本文利用混合单调算子方法，证明了一类悬臂型边值问题正解的存在唯一性

　　$ $ \开始{对齐}\ displaystyle \左\{\{数组}{1}开始u ^ {(4)} (t)=f (t, u (t)(\αt) + g (t, u (t)) \四0 < t

　　此外，为了说明结果，我们给出了一个例子。

　　四阶微分方程可用于模拟弹性梁挠度的稳态，例如:

　　（1）

　　在边界条件下

　　（2）

　　边值问题(1)-(2)描述了一根长度为1的杆，它被夹紧在左端，在右端自由移动，弯矩和剪力消失(参见，例如[1,2,3])。

　　在证明[1,2,3]的结果时使用的主要工具是测度链[2]、锥中的不动点指数理论[2]和单调迭代技术[3]。

　　本文研究了一类悬臂型边值问题正解的存在唯一性

　　（3）

　　其中和为连续函数。

　　本文结果的证明主要采用了混合单调算子法。

　　Guo和Lakshmikantham在[4]中引入了混合单调算子技术，以获得关于耦合不动点的结果及其在非线性算子解存在性理论中的应用。从那时起，大量使用这种技术的论文出现在文献中(见[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15])，等等)。

　　其次，我们给出了一些关于混合单调算子方法的基本事实和结果，这将是证明本文结果的主要工具。

　　假设这是一个实巴拿赫空间。

　　E中的锥是满足以下两个条件的非空闭凸集:

　　（一个）：

　　和。

　　（b）：

　　．

　　(这里表示巴拿赫空间E的零元素)。

　　设K是巴拿赫空间中的一个圆锥那么K在E中引出一个偏序，定义为，

　　我们用和来表示。

　　如果表示K的内部并且是非空的，那么我们说K是实心的。当存在一个常数，对于任意的，我们说，K是正态的。在这种情况下，满足上述不等式的最小常数C称为K的正态常数。

　　在这种情况下，对于任意，用表示满足的常数的存在性

　　很容易看出这是一个等价关系。

　　最后，for with表示下面的集合

　　很明显。

　　接下来，我们需要一些定义，以介绍我们研究中使用的混合单调算子方法。该材料出现在[10]中。

　　操作员正在增加(频率)。降序)if, for any with, then (p.)．

　　当A(x, y)随x增加而随y减少时，称为混合单调算子，即对于任意，

　　一个映射被称为次齐次，如果，对于任何和，不等式

　　成立。

　　现在，我们准备提出[10]中出现的混合单调算子方法。

　　假设K是Banach空间中的一个正规圆锥，并且。

　　设为满足的混合单调算子

　　对于任意和，以及递增次齐次算子。

　　在以下假设下:

　　(i)

　　存在这样的，并且，

　　(2)

　　存在一种不变的满足

　　对任何人来说，

　　我们有这个

　　（1）

　　而且,

　　（2）

　　存在这样的和

　　（3）

　　存在一种独一无二的

　　（4）

　　对于任何初始值，定义的序列

　　为满足

　　我们在这一节开始展示问题(3)的解决方案所在的空间和圆锥体。

　　用给出的上标准范数表示连续函数的经典空间。

　　在，我们考虑锥K定义为

　　众所周知，K是一个具有法向常数的法向锥。在这种情况下，由K推导出的偏序是，

　　在给出我们的主要结果之前，我们需要一些引理。

　　以下引理出现在[2]中。

　　假设。然后是下面的边值问题

　　有一个独特的解决方案

　　在哪里

　　很明显，G(t, s)是on和for的连续函数。

　　下面的引理给出了G(t, s)的上界和下界。

　　对于任意，我们有这个

　　（4）

　　为了证明下界，我们考虑以下两种情况i)和ii)。

　　（我）：

　　假设。在这种情况下，我们有

　　（2）：

　　因为我们推断

　　这证明了式(4)中的左不等式。

　　对于上界，根据类似的论证，我们考虑它，我们有

　　在这种情况下，是这样的

　　这证明了式(4)中的不等式。

　　这就完成了证明。

　　在第二部分，我们给出了本文的主要结果。

　　假设如下:

　　(i)

　　都是连续函数。此外，存在令人满意的。

　　(2)

　　F (t, x, y)随x增加，随y减少g(t, x)随x增加。

　　(3)

　　对于任意，和。

　　(iv)

　　存在一种不变的满足

　　对于任意，和。

　　(v)

　　存在这样一个常数

　　对于任意和。

　　那么我们有以下事实。

　　（1）

　　存在着这样那样的东西

　　此外,

　　和

　　去哪里?

　　（2）

　　问题(3)有一个唯一的正解(这里的正解是指对于)。

　　（3）

　　对于任意，序列归纳定义为

　　和

　　满足

　　考虑到引理1，我们关于问题(3)解的存在性的问题将是找到以下积分方程的解

　　（5）

　　对。

　　接下来，我们考虑以下两个操作符

　　和

　　对于任意和。

　　利用假设(i)和注1关于G(t, s)的连续性和非负性质，可得和。

　　显然，x满足式(5)当且仅当。

　　在续文中，我们检验定理1的假设是否满足。

　　考虑到假设(ii)，我们推断A是一个混合单调算子，B是递增的。

　　此外，根据假设(iv)，对于任何和，

　　在哪里。

　　证明了算子A满足定理1中出现的条件。

　　为了证明B是一个次齐次算子，我们取和。

　　通过使用假设(iii)，我们推导出

　　这是，B是一个次齐次算子。

　　接下来，我们用for给出的函数。请注意。很明显，和。此外，引理2和假设(ii)告诉我们，对于任意，

　　（6）

　　另一方面，根据引理2和假设(ii)，可以得出

　　（7）

　　如果我们把

　　和

　　由式(6)和式(7)，得到

　　（8）

　　现在，我们需要证明。

　　为了做到这一点，证明(因为)是足够的。事实上，通过假设(i)，我们可以确定。通过g(假设(i))的连续性，我们得到了一个子集，其中表示Lebesgue测度。

　　通过使用假设(v)，我们推导出

　　我们得到

　　在上一个不等式中我们使用了这个事实

　　因此，和都是正数，因此，由(8)，。

　　在续集中，我们证明了这一点。

　　考虑到引理2和我们的假设(ii)，可以得出，对于任何，我们有

　　同样地，由引理2和假设(ii)，我们得到

　　把

　　和

　　我们有这个

　　接下来，我们证明它。使用类似于上面使用的论证，我们需要证明这一点。事实上,

　　因此,。

　　最后，我们需要证明，对于任何，存在这样的。

　　为了做到这一点，我们取和，通过我们的假设(v)，它如下

　　这告诉我们，因此，我们可以取。

　　这证明了定理1的假设是满足的，从而得到了我们的结果。

　　注意我们的问题(3)的解是正的since和for。

　　这就完成了证明。

　　接下来，我们给出一个例子来说明所得到的结果。

　　考虑下面的非线性边值问题

　　（9）

　　注意，问题(9)是问题(3)的特例，其中

　　很容易看出，f适用于，g适用于。

　　而且，函数f和g显然都是连续函数，例如。

　　这说明定理2的假设(i)是满足的。显然，f和g满足定理2的假设(ii)。为了检验定理2的假设(iii)，我们取和，然后

　　定理2的假设(iv)被满足，因为对于，并且，我们有

　　这说明定理2的假设(iv)是成立的。

　　最后，对于和，我们推导

　　这证明定理2的假设(v)是成立的。

　　现在，根据定理2，我们推断问题(9)有一个唯一的正解，其中为。

　　接下来，我们将我们的结果与[2]中的结果进行比较。

　　在[2]中，作者研究了以下四阶边值问题

　　（10）

　　他证明了问题(10)在非线性f的一定增长下正解的存在性。

　　特别地，如果用和表示下列量

　　和

　　则在[2]的推论3.1中证明了如下结果:

　　让它连续。假设以下假设

　　(a)

　　对于任意存在一个定义为满足的正连续函数

　　这样

　　对于任意，，和。(南云型条件)。

　　(b)

　　和

　　那么问题(10)至少有一个正解。

　　接下来，我们给出一个定理3的条件(b)不满足的例子，而这个例子我们可以应用定理2。

　　考虑下面的非线性边值问题

　　（11）

　　注意，问题(11)是问题(3)的特殊情况

　　和

　　很明显，f作用于，g作用于，函数f和g都是连续的，特别是。此外，f在u中增加，在v中减少，g在u中增加。

　　另一方面，对于任意和，

　　为了检验定理2的假设(iv)，我们取，并推演

　　证明定理2的假设(iv)成立。

　　最后，对于任意和，我们有

　　因此，由于定理2的假设满足，则可以得出问题(11)有一个唯一的正解，使得对于任意，

　　其中和是正常数。

　　另一方面，

　　和

　　因此，定理3不能研究问题(11)，因为该定理的假设(b)不满足

　　摘要

　　1 引言和序言

　　2 主要结果

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