常阶微分方程的逻辑级数是变阶微分方程的领域。这样的方程通常可以更简洁地描述现实世界中的问题。因此，我们考虑了一类变阶微分下的耦合边值问题。利用Banach和Schauder的不动点技术，研究了该问题解的存在唯一性。此外，还记录了足够的结果以满足必要的需求。进一步阐述了基于Ulam、Hyers和Rassias思想的一些稳定性结果。最后，给出了适当的例子和深入的分析来支持我们的结果。

　　由于函数的非整数阶导数产生完整的谱，在特定情况下，包括相关的整数阶导数，在过去的几十年里，研究非整数阶导数和积分的工作吸引了各个技术和科学领域的研究人员的极大兴趣。在流变学、分布理论、金融数学、流体动力学、粘弹性等各个领域都出现了一些重要的应用。例如，作者在[1]中使用生物工程应用分数阶微积分概念。参见[2]和[3]，分别利用分数阶微积分对分数阶物理和动力学进行混沌神经元的概念。同样，HIV/AIDS和疟疾的延迟分数阶模型参见[4]。我们分别参考[5]和[6]了解分数阶微积分的基本思想、理论和应用。此外，许多学者已经考虑到处理非整阶微分方程的领域，因为将这些方程应用于现实系统的数学模型时，具有更大的自由度和更全面的动力学。关于粘弹性、物理和动力学方面的应用，分别可以在[7-9]和[10]中找到良好的结果。因此，学者们发展了许多概念，包括定性理论、稳定性分析和数值解释。例如，上述学科的一些基本理论可以在[11]中找到，而基本思想可以在[12]中找到。

　　令人震惊的是，有多少不同的工程学科使用了边值问题(bvp)。因此，对任意阶微分方程的上述领域的定性要素进行了深入的研究。使用不动点(FP)方法，对分数阶微积分的一些bvp的必要定性结果进行了检查。为了利用FP理论保证各种初值和边值问题的存在唯一性，我们参考[13-19]。在这方面有一些值得注意的成果。此外，在[20-22]中，一些作者扩展了FP技术来分析多点、非局部和初值问题的解的存在性。为了研究一种现象的当前状态和过去状态之间的关系，整型和分数型的延迟型方程的能力是至关重要的。

　　延迟问题可以分为三类:离散、比例和连续延迟方程。因此，分数阶时滞微分方程(FODDEs)研究领域近年来受到了广泛的关注。多溴二苯醚在模拟许多生物和物理事件和过程中是至关重要的。FODDEs在电动力学、量子力学、细胞生长、线性和非线性系统动力学以及天文学等领域都有广泛的应用。[23-25]使用多项式、小波方法和其他工具研究了几种用于数值分析的分数阶受电弓微分方程。

　　到目前为止，固定分数阶导数已经受到了广泛的关注。在这方面，提出了一些微分算子，它们的性质可以在计算算法和存在唯一性结果的延迟问题上进行检验。我们参考[26-29]了解更多信息。处理多溴二苯醚的分解方法见[30]，使用小波、运算矩阵等各种数值技术对上述问题进行数值分析见[31,32]。我们引用了[33,34]分别使用FP理论和程度方法的定性理论。此外，在接下来的论文[35,36]中，研究人员研究了与定性分析相关的各种问题。

　　1993年，另一种将阶视为连续函数的微分算子开始流行。Samko和他的合著者在[37]中提出了上述概念。当选择顺序作为变量时，算子具有更强的适应性和更大的自由度。此外，还存在许多用传统分数阶算子不能充分研究其动力学性质的问题。因此，在过去的20年中，学术界越来越多地使用变阶微分算子来推导存在唯一性(EU)、稳定性和数值结果。[38]的作者对几种顺序变化的情况进行了理论分析。关于极值解的结果，以及稳定性分析和存在性理论，已经在[39-41]中得到了发展。此外，该工作[42]为上述领域的实际情况提供了一些有用的应用。

　　一般来说，动力学问题需要稳定性理论。对于常见的经典分数阶微积分问题，已成功地建立了Lyapunov稳定和Mittag-Leffler稳定以及指数类稳定。乌兰-海斯(HU)的稳定性最近得到了适当的关注。例如，[43]证明了前面提到的一类Hilfer fode的稳定性。此外，肿瘤免疫FODDEs系统的稳定性也在文献[44]中得到了提取。上述稳定性也在[45]中导出了分数阶时滞方程(FODEs)的耦合系统。使用FP方法的几个稳定性和存在性结果已在[46]中得到检验。文献[47,48]对几种FODDEs的存在理论和稳定性分析进行了研究。在文献[49]中也推导出了一类线性FODDEs的稳定性。

　　继续在相同的路径上，这里我们认为耦合分数阶微分延迟方程(简称CFODDEs)没有得到足够的审查。为了弥补这一差距，考虑了以下混合类型延迟cfode的bvp:

　　(1.1)

　　式中，和，分别为变阶和的卡普托导数。我们注意到[50,51]最近报道了一些涉及变量顺序的困难的最新结果。我们将遵循这些出版物中描述的相同步骤。此外，利用传统的不动点法和非线性泛函分析，得到了包含混合型延迟项的可变FODDEs的EU和稳定性结果。进一步研究了多种类型的Ulam-Hyers稳定性，包括广义Hyers-Ulam (GHU)、Hyers-Ulam - rassias (UHR)和广义Rassias-Hyers-Ulam (GUHR)。我们还使用适当的测试用例来支持我们的分析。在边界情况下，对固定分数阶问题进行了相应的稳定性检验[52-54]。我们将使用FP理论构建我们的研究[55]。

　　我们需要以下腋窝检查结果:

　　([37])

　　设k上所有可积函数的空间。在Riemann-Liouville透视下，的变阶分数积分定义为

　　其中为连续函数。

　　([37])

　　根据Caputo，变阶分数阶导数定义为

　　([6])

　　让。对于分数阶，下列关系为真:

　　([55])

　　假设a是一个Banach空间，并且是a的闭凸子集。如果是一个连续函数，那么它是一个相对紧凑的集合，那么Ω在Z中至少有一个FP。

　　在这一部分中，我们讨论了欧盟所考虑的问题(1.1)。，并考虑K的划分如下:

　　设一个分段函数，这样

　　和

　　其中是常数和表示的指示函数，这样，，和

　　假设这是一个具有范数的巴拿赫空间。因此，正在讨论的问题的左边可以表示为(at)

　　(3.1)

　　根据(3.1)，我们可以将假设问题表述为

　　现在，假设这是我们需要处理的

　　如果，那么问题来了

　　(3.2)

　　解如下

　　利用引理2.3，将积分应用到问题(3.2)之后，我们有

　　(3.3)

　　引入(3.3)并应用初始条件，就得到了

　　因此，我们得到

　　□

　　根据引理3.1，所考虑的系统(1.1)的解描述为

　　以下假设对于获得系统(1.1)的EU非常重要:

　　：

　　因为有这样的

　　：

　　因为有这样的

　　如果假设成立，则所考虑的问题(1.1)具有唯一解，只要满足以下条件:

　　(3.4)

　　定义操作符

　　很明显，找到问题(1.1)的解等价于找到运算符Ω的耦合FP。为此，我们需要证明Ω是一个压缩运算符。

　　让。使用，我们有

　　应用和，一个有

　　(3.5)

　　同样地，使用，我们得到

　　(3.6)

　　由(3.4)、(3.5)和(3.6)可知Ω是一个冷凝运算符，证明到此为止。□

　　现在，我们证明所考虑的问题(1.1)在有界集合上至少有一个解。为此，我们提出以下假设。

　　：

　　因为，我们有

　　：

　　如果，那么

　　基于条件-，建议问题(1.1)在有界集合中至少有一个解，且有。

　　我们将证明分为以下几个步骤:

　　(I)

　　证明它是有界的。假设我们有

　　类似地，一个人可以写作

　　因此，Ω将有界集合映射到中的有界集合。。

　　(2)

　　证明Ω是连续的。假设序列收敛于in，对于每个序列，我们得到

　　这意味着

　　同样，一个人也可以写作

　　因为as和Ω是有界的，所以有和as。这证明Ω是连续的。

　　(3)

　　声称Ω是完全连续的。如果，我们得到

　　用同样的方法，我们有

　　Since, and。从步骤(I)和(II)可知Ω是有界连续的。因此，和。因此，Ω是完全连续的。

　　(IV)

　　我们将证明某些的集合对于先验界是有界的。对于任意，我们得到

　　(3.7)

　　类似地，一个人

　　(3.8)

　　由式(3.7)和式(3.8)可以看出

　　分别导致和。因此，根据定理2.4，给定问题(1.1)至少有一个解。□

　　在这里，我们为提出的问题(1.1)的稳定性分析提供了一些精确的预测。以下结果用于启动本节:

　　给定系统(1.1)的对是UH稳定的，如果，对于每，存在一个常数，使得对于下列不等式的每一个解:

　　对于(1.1)的所有解和唯一解，有

　　而且，如果存在这样一个函数

　　那么这个解就被称为GUH稳定解。

　　我们说，当且仅当对于每一个，存在这样的对是问题(1.1)的解

　　(i)

　　和;

　　(2)

　　；

　　(3)

　　．

　　我们说所考虑的问题(1.1)的解对于连续函数是UHR稳定的，如果存在这样的常数

　　对于(1.1)的唯一解，我们有

　　更进一步，如果存在这样一个函数

　　则解称为GUHR稳定。

　　对于函数，对于所有函数，我们都有

　　(i)

　　和;

　　(2)

　　；

　　(3)

　　．

　　根据注4.2和引理3.1，得到摄动系统的解

　　(4.1)

　　满足以下不等式:

　　为所有

　　应用引理3.1，问题(4.1)表明

　　和

　　这意味着

　　□

　　假设- hold，则相关问题(1.1)的唯一解是UH和GUH稳定的，只要。

　　由于引理4.5，如果和是(1.1)的解，则有

　　这意味着

　　因此,

　　(4.2)

　　显然，有人

　　(4.3)

　　在哪里

　　分别。不等式(4.2)和式(4.3)可以写成

　　这就导致

　　(4.4)

　　在哪里。基于系统(4.4)，可以编写

　　和

　　由此得出

　　设置

　　意味着

　　因此，式(1.1)的解是UH稳定的。此外，对于一个函数，我们得到

　　保证了GUH的稳定性(1.1)。□

　　在备注4.4的条件下，对于式(4.1)的解成立:

　　使用注释4.4，系统(4.1)产生

　　和

　　两者都会导致

　　和

　　这样证明就完成了

　　假设和为真，则式(1.1)的解为UHR和GUHR稳定

　　使用引理4.7并应用与证明定理4.6相同的步骤，我们得到了期望的结果

　　摘要

　　1 介绍

　　2 基本概念

　　3.主要的后果

　　4 稳定的结果

　　5 说明性的例子

　　6 有限公司

　　结论及未来工作

　　数据和材料的可用性

　　参考文献

　　致谢

　　作者信息

　　道德声明

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　　#####

　　下面的例子是为了支持我们的主要结果:

　　考虑以下cfodde:

　　很明显，对于，，和，我们有

　　显然，对于，，和，

　　考虑到，我们已经

　　和

　　在第一种情况下(，)，一个人有

　　(5.1)

　　因此，和。因此，假设和被满足。此外，我们还有

　　因此，根据定理3.3，系统(5.1)具有唯一解。此外，我们有

　　因此，所考虑的问题(5.1)的解是UH和GUH稳定的。如果我们考虑函数，我们可以得出结论，所述问题(5.1)是UHR和GHR稳定的。

　　在第二种情况下(，)，我们得到

　　(5.2)

　　使用相同的步骤，对于(5.2)，我们可以演示何时

　　因此，系统(5.2)有一个基于定理3.3的唯一解。另外，我们得到

　　因此，所述问题(5.2)的解是UH和GUH稳定的。同样，如果我们考虑函数，那么我们得出结论，问题(5.2)是UHR和GHR稳定的。

　　我们还提供了以下示例供进一步分析:

　　考虑以下cfodde:

　　显然，对于，，，，来说，我们已经做到了

　　很明显，对于，，和，

　　考虑到，我们已经

　　和

　　在第一种情况下(，)，我们得到

　　(5.3)

　　显然，和。因此，假设和坚持。同时，我们得到

　　因此，根据定理3.3，问题(5.3)具有唯一解。此外，一个人

　　因此，给定问题(5.3)的解是UH和GUH稳定的。如果我们考虑函数，那么我们可以得出结论，所考虑的问题(5.3)是UHR和GHR稳定的。

　　在第二种情况(，)中，我们有

　　(5.4)

　　用同样的步骤，对于(5.3)，我们可以计算

　　因此，系统(5.4)具有基于定理3.3的唯一解。此外，我们还有

　　因此，所述问题(5.4)的解是UH和GUH稳定的。同样，如果我们考虑函数，那么我们得出结论，问题(5.4)是UHR和GHR稳定的。

　　变阶微分算子在文献中被广泛使用，以解决各种不同的现实问题。一些研究已经证明，变阶分数阶导数可以成功地表示许多复杂的物理现象，这对于观察时空中产生的记忆特征是必要的。这些相关的操作器被认为是在电磁学、流体、扩散等领域应用的有用工具。例如，人们对变阶分数阶微分方程解的存在性、唯一性和稳定性进行了研究。本文研究了在变阶微分条件下具有混合型时滞的耦合边值问题。在适当的条件和假设下，利用不动点技术和非线性泛函方法证明了解的存在唯一性。我们还给出了一些Ulam-Hyers和Ulam-Hyers - rassias稳定性结果。所得结果得到了具体算例的支持。在未来的工作中，我们将进一步研究这类问题在不同边界条件下和不同类型分数阶导数下的稳定性。

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